伝わるようなタイトルを考えるのが難しすぎる！

同種写像計算の基本命題*1というやつがあって、詳しくは説明しないんですが主張としては、

（有限体上の）楕円曲線を定義域とする同種写像（とその終域）はと代数閉包上の楕円曲線の有限部分群から同型を除いて一意に定まり、である

というものです。

つまり、適当な楕円曲線と同種写像の核にしたい群があれば同種写像が決まります。さらにここで核にしているが素数位数なら、の代わりにその生成元だけあれば良いです（そしてVéluの公式などでからを具体的に計算できます）。

この時が-torsion pointであれば、は-isogenyとなるのですが、その理屈がわからなくて考えたので説明します。

というわけで素数を位数とする適当な点をとってきて、が生成する巡回群を核とする同種写像を求めたとします。

この時、が成り立ちます*2。なぜなら、 よりは個の根を持ち、個の根を持つためにはは次の多項式である必要があるからです。

従って、-torsion point を生成元としたカーネルを持つ同種写像は-isogenyです

……という理屈で私は納得したけど、皆さんはどうですか。ミスってるよとか行間がデカすぎるとか、ここに厳密な証明書いてありますよとかあれば教えてください。