导语 | 最近在看《Redis设计与实现》这本书，书中简单描述了跳表的性质和数据结构，但对它的具体实现没有详细描述。本文是基于我个人对跳表原理的深入探究，并通过golang实现了一个基础跳表的理解和实践。

书里对跳表结构的描述是这样的：

跳跃表节点：

 typedef struct zskiplistNode{     // 后退指针     struct zskiplistNode *backward;     // 分值     double score;     // 成员对象     robj *obj;     // 层     struct zskiplistLevel{         // 前进指针         struct zskiplistNode *forward;         // 跨度         unsigned int span;    } level[]; } zskiplistNode;

跳跃表结构：

typedef struct zskiplist{     // 表头节点和表尾节点     struct zskiplistNode *header, *tail;     // 表中节点数量     unsigned long length;     // 表中层数最大的节点的层数     int level; } zskiplist;

虽然大概懂了跳表是一种怎么样的存在，它有媲美平衡树的效率，但比平衡树更加容易实现，但这本书并没有详细描述跳表的实现，其中一些关键点也没有说明，比如：

为什么表头节点是不被计算在length属性里？新增节点时是如何决定level的指针指向哪个后继节点？为什么zset分值可以相同而成员对象不能相同？

为了解答这些问题，我决定完全弄懂跳表的原理，自己实现一个基础的跳表。

（一）有序单链表和二分查找法

顾名思义，有序单链表就是节点的排列是有顺序的链表。

如果我们想从中找到一个节点，比如15，除了从头节点开始遍历，是否有其他方式？

经典的查找算法中，有专门针对一个有序的数据集合的算法，即“二分算法”，以O(logN)的时间复杂度进行查找。它通过对比目标数据和中间数据的大小，在每轮查找中直接淘汰一半的数据：

• 中间节点数字为10（10或8都可以作为中间节点），比目标15小，所以排除10之前的4个数据，在10-21中查找。

• 中间节点为18 ，比目标15大，排除18及之后的2条数据，在10-15中查找。

• 中间节点为15 ，与目标一致，查找结束。

设想在链表中，我们参考二分算法的思想，为“中间节点”加索引，就能像二分算法一样进行链表数据的查找了。

OK，现在我们将每一个中间节点抽了出来，组成了另一条链表，即一级索引，一级索引的每个节点都指向原单链表对应的节点，这样可以通过二分算法来快速查找有序单链表中的节点了。

如果原链表节点数量太多将会导致一级索引的节点数量也很多，这时需要继续向上建立索引，选取一级索引的中间节点建立二级索引。

这就是跳表的本质：是对有序链表的改造，为单链表加多层索引，以空间换时间的策略，解决了单链表中查询速度的问题，同时也能快速实现范围查询。

链表节点数少时提升的效果有限，但当链表长度达到1000甚至10000时，从中查找一个数的效率会得到极大的提升。

（二）跳表索引的更新

• 二叉树和跳表的退化

前言中提到，跳表具有媲美平衡树的效率，平衡树之所以称之为平衡树，是为了解决普通树结构在极端情况下容易退化成一个单链表的问题，每次插入或删除节点时，会维持树的平衡性。

下面这种二叉树具有O(log n) 的查找时间复杂度，但在极端情况下容易发生退化，比如删除了4，5，6三个节点后，会退化为单链表，查询时间复杂度退化为O(n).

退化后的二叉树：

如果跳表在插入新节点后索引就不再更新，在极端情况下，它可能发生退化，比如下面这种情况：

10到100之间插入n多个节点，查询这其中的数据时，查询时间复杂度将退化到接近O(n)。既然跳表被称之为媲美平衡树的数据结构，也必然会维护索引以保证不退化。

• 跳表索引的维护

通过晋升机制。既然现在跳表每两个原始链表节点中有一个被建立了一级索引，而每两个一级索引中有一个被建立了二级索引，n个节点中有n/2个索引，可以理解为：在同一级中，每个节点晋升到上一级索引的概率为1/2。

如果不严格按照“每两个节点中有一个晋升”，而是“每个节点有1/2的概率晋升”，当节点数量少时，可能会有部分索引聚集，但当节点数量足够大时，建立的索引也就足够分散，就越接近“严格的每两个节点中有一个晋升”的效果。

当然，晋升的概率可以根据需求进行调整，1/3或1/4，晋升概率稍小时，空间复杂度小，但查询效率会降低。在下文中，我们将晋升率设置为p。

（三）时间复杂度与空间复杂度

• 时间复杂度

结论：跳表的时间复杂度为O(log n)

证明：

按二分法进化出的跳表，无论是原链表还是N级索引，都是每两个节点中有一个被用作上一级索引。这个过程我们称之为“晋升”，晋升的概率为p。

假设原链表节点数量为n，一级索引节点数为n*p^1，二级索引节点数为n*p^2，以此类推，h级索引的节点数应为n*(p^h)。

最高层的期望节点数应为1/p，我的理解是：小于等于这个期望数，再高一层索引的期望节点数将为1，没有意义了。

根据上述推算，易得一个跳表的期望索引高度h为：

加上底层的原始链表，跳表的期望总高度H为：

查找索引时，我们运用倒推的思维，从原始链表上的目标节点推到顶层索引的起始节点，示意图如下：

当我们在底层节点时，只有两种路径可走，向上或向左，向上的概率为p，向左的概率为1-p。

假设C(i)为一个无限长度的跳表中向上爬i层的期望代价（即经过的节点数量）

爬到第0层时，无需经过任何节点，所以有：

爬到第1层时，可能有两种情况：

从有p的概率是从第0层直接爬升1个节点，这种情况经过的节点数为：

有1-p的概率是从第1层向左移动一个节点，则经过的节点数为：

则有：

解得：C(i) = i/p

当爬到期望中的最高层——第h层时，则期望步数为h/p，在第h层，继续向左走的期望步数不会超过当前层节点的期望总和1/p，向上走的期望步数也不会超过当前层节点的期望总和1/p，全部加起来，从最底层的目标节点到最顶层的头节点，期望步数为h/p+2/p，将上面h的公式带入，忽略常量，时间复杂度为O(log n)。

• 空间复杂度

空间复杂度基本上就是等比数列之和的计算，比值为p。

直接说结果为O(n)

为了更好地理解跳表，自己参考着跳表的原理，尝试手撸一条跳表，当然这是最基础的，没有redis跳表那样丰富的能力，粗略实现了对数字的增删改查，以插入的数字作为排序的基准，不支持重复数字的插入。

redis跳表在经典跳表之上有额外的实现：

• 经典跳表不支持重复值，redis跳表支持重复的分值score。

• redis跳表的排序是根据score和成员对象两者共同决定的。

• redis跳表的原链表是个双向链表。

在这之前需要说明，索引的节点其实并不是像底层链表一样的节点Node，而是一种Level层结构，每个层中都包含了Node的指针，指向下一个节点。

（一）基础数据结构

const MaxLevel = 32const p = 0.5
type Node struct {  value  uint32  levels []*Level // 索引节点,index=0是基础链表}
type Level struct {  next *Node}
type SkipList struct {  header *Node  // 表头节点  length uint32 // 原始链表的长度，表头节点不计入  height uint32 // 最高的节点的层数}
func NewSkipList() *SkipList {  return &SkipList{    header: NewNode(MaxLevel, 0),    length: 0,    height: 1,  }}
func NewNode(level, value uint32) *Node {  node := new(Node)  node.value = value  node.levels = make([]*Level, level)
  for i := 0; i < len(node.levels); i++ {    node.levels[i] = new(Level)  }  return node}

这里的p就是上面提到的节点晋升概率，MaxLevel为跳表最高的层数，这两个数字可以根据需求设定，根据上面推出的跳表高度公式：

可以倒推出此跳表的容纳元素数量上限，n为2^32个。

（二）插入元素

重点在于如何确认插入的这个新节点需要几层索引？通过下面这个函数根据晋升概率随机生成这个新节点的层数。

func (sl *SkipList) randomLevel() int {  level := 1  r := rand.New(rand.NewSource(time.Now().UnixNano()))  for r.Float64() < p && level < MaxLevel {    level++  }  return level}

可以看出，默认层数为1，即无索引，通过随机一个0-1的数，如果小于晋升概率p，且总层数不大于最大层数时，将level+1。

这样就有：

• 1/2的概率level为1

• 1/4的概率level为2

• 1/8的概率level为3

• ......

这里需要注意一下，上面我们说有1/2的概率有一层索引，即level为2的概率应该是1/2，为什么这里是1/4呢？而位于第一层的原始链表存在的概率应该是1，这里为什么level=1的概率为1/2呢？

原因在于，当level为2时，同时也表示存在第一层；当level为3时，同时也存在第一层和第二层；毕竟不能出现“空中阁楼”。所以：

• 新节点存在原链表节点的概率为1/2+1/4+1/8+...=1

• 新节点存在一层索引的概率为1/4+1/8+1/16+...=1/2

• 新节点存在二层索引的概率为1/8+1/16+1/32+...=1/4

插入元素的具体代码如下：

func (sl *SkipList) Add(value uint32) bool {  if value <= 0 {    return false  }  update := make([]*Node, MaxLevel)  // 每一次循环都是一次寻找有序单链表的插入过程  tmp := sl.header  for i := int(sl.height) - 1; i >= 0; i-- {        // 每次循环不重置 tmp，直接从上一层确认的节点开始向下一层查找    for tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value < value {      tmp = tmp.levels[i].next    }
        // 避免插入相同的元素    if tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value == value {      return false    }
    update[i] = tmp  }
  level := sl.randomLevel()  node := NewNode(uint32(level), value)  // fmt.Printf("level:%v,value:%v\n", level, value)
  if uint32(level) > sl.height {    sl.height = uint32(level)  }
  for i := 0; i < level; i++ {
        // 说明新节点层数超过了跳表当前的最高层数，此时将头节点对应层数的后继节点设置为新节点    if update[i] == nil {      sl.header.levels[i].next = node      continue    }        // 普通的插入链表操作，修改新节点的后继节点为前一个节点的后继节点，修改前一个节点的后继节点为新节点    node.levels[i].next = update[i].levels[i].next    update[i].levels[i].next = node  }
  sl.length++  return true}

数组update保存了每一层对应的插入位置。

• 从头节点的最高层开始查询，每次循环都可以理解为一次寻找有序单链表插入位置的过程。

• 找到在这层索引的插入位置，存入update数组中。

• 遍历完一层后，直接使用这一层查到的节点，即代码中的tmp开始遍历下一层索引。

• 重复1-3步直到结束。

• 获取新节点的层数，以确定从哪一层开始插入。如果层数大于跳表当前的最高层数，修改当前最高层数。

• 遍历update数组，但只遍历到新节点的最大层数。

• 增加跳表长度，返回true表示新增成功。

比如下面这张跳表，我要新增元素9，最高高度为5，当前最高高度为3:

update长度为5

那么会从3层开始向下遍历，在二级索引这层找到9应该插入的位置——1和10之间，update[2]记录包含1的节点。

在一级索引这层找到9应该插入的位置——7和10之间，update[1]记录了包含7的节点。

在原链表这层找到9应该插入的位置——8和10之间，update[0]记录了包含8的节点。

假设新节点的level为4，则修改当前最高高度为4，然后开始逐层插入这个新节点，update[3]为空，因为目前整个跳表的高度只有3，所以需要将三级索引上的节点9插入到头节点后面，插入过程与普通的链表插入无异。示意图如下：

（三）删除元素

func (sl *SkipList) Delete(value uint32) bool {  var node *Node  last := make([]*Node, sl.height)  tmp := sl.header  for i := int(sl.height) - 1; i >= 0; i-- {
    for tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value < value {      tmp = tmp.levels[i].next    }
    last[i] = tmp    // 拿到 value 对应的 node    if tmp.levels[i].next!=nil&&tmp.levels[i].next.value == value {      node = tmp.levels[i].next    }  }
    // 没有找到 value 对应的 node  if node == nil {    return false  }
  // 找到所有前置节点后需要删除node  for i := 0; i < len(node.levels); i++ {    last[i].levels[i].next = node.levels[i].next    node.levels[i].next = nil  }
  // 重定向跳表高度  for i := 0; i < len(sl.header.levels); i++ {    if sl.header.levels[i].next == nil {      sl.height = uint32(i)      break    }  }
  sl.length--
  return true}

与插入节点思路一致，从最上层开始向下遍历寻找，找到需要删除的节点的前置节点并记录在 last 数组中，然后修改前置节点指针的指向。

（四）查找

解决了增删，剩下的查询就很简单了，可以查找对应value的node，也可以查找一个范围。

查找范围即先找到范围前边界的节点，再通过链表向后遍历即可。

这里我只实现了查找单个node的函数：

func (sl *SkipList) Find(value uint32) *Node {  var node *Node  tmp := sl.header  for i := int(sl.height) - 1; i >= 0; i-- {    for tmp.levels[i].next != nil && tmp.levels[i].next.value <= value {      tmp = tmp.levels[i].next    }    if tmp.value == value {      node = tmp      break    }  }  return node}

上述是一个标准跳表的原理和实现，redis中的跳表还有所不同，它提供了更多的特性和能力：

• 经典跳表不支持重复值，redis跳表支持重复的分值score。

• redis跳表的排序是根据score和成员对象两者共同决定的。

• redis跳表的原链表是个双向链表。

redis中，跳表只在zset结构有使用。zset结构在成员较少时使用压缩列表 ziplist作为存储结构，成员达到一定数量后会改用map+skiplist作为存储结构。这里只讨论使用skiplist的实现。

zset结构要求，分值可以相同，但保存的成员对象不能相同。zset对跳表排序的依据是“分值和成员对象”两个维度，分值可以相同，但成员对象不能一样。分值相同时，按成员对象首字母在字典的顺序确定先后。

zset还维护了一个map，保存成员对象与分值的映射关系，被用来通过成员对象快速查找分值，定位对应的节点，在ZRANK、ZREVRANK、ZSCORE等命令中均有使用。

另外，这个map还用于插入节点时，判断是否存在重复的成员对象。见下面redis源码中的dictFind函数。

int zsetAdd(robj *zobj, double score, sds ele, int in_flags, int *out_flags, double *newscore) {    // ...    /* Update the sorted set according to its encoding. */    if (zobj->encoding == OBJ_ENCODING_ZIPLIST) {        // ...    } else if (zobj->encoding == OBJ_ENCODING_SKIPLIST) {        zset *zs = zobj->ptr;        zskiplistNode *znode;        dictEntry *de;
        de = dictFind(zs->dict,ele);        if (de != NULL) {            // 已经存在            // ...        } else if (!xx) {            // 不存在，插入            ele = sdsdup(ele);            znode = zslInsert(zs->zsl,score,ele);            serverAssert(dictAdd(zs->dict,ele,&znode->score) == DICT_OK);            *out_flags |= ZADD_OUT_ADDED;            if (newscore) *newscore = score;            return 1;        } else {            *out_flags |= ZADD_OUT_NOP;            return 1;        }    }}

前面提到，在看《Redis设计与实现》这本书时我有几点疑问，在详细了解跳表之后现在就完全理解了。

（一）为什么表头节点是不被计算在length属性里？

因为表头节点是初始化跳表时提供的空节点，不保存任何节点，只用于提供各级索引的入口。

（二）新增节点时是如何决定level的指针指向哪个后继节点？

通过分值和成员对象共同决定，判断新节点的插入位置和顺序。分值相同时，按成员对象首字母在字典的顺序确定先后。

经典跳表也同样需要一个维度来确定插入的顺序，我的跳表实现中直接使用了新节点的值作为排序的维度。

（三）为什么zset分值可以相同而成员对象不能相同？

根据第二个问题的答案，如果都相同，就无法确定插入的位置和顺序。

冯启源

腾讯后台开发工程师

腾讯后台开发工程师，毕业于中南大学，目前负责腾讯教育业务的后端开发工作，希望能用技术改善人们的生活。

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